Mathe Berühungstangente?
Heyho,
Eine Frage zu Mathe. Ich versteh nicht was ich da machen muss.
Aufgaben Stellung:
„Wie muss „a“ gewählt werden, damit der Graph von „f(x) = a + x^2“ die Winkelhalbierende „g(x) = c“ berührt? Wie lautet die Gleichung der Berührungstangente?“
Kann das jemand mal bitte erklären?
(BILD Aufgabe 8)
3 Antworten
Hmmm, ist die Winkelhalbierende nicht normalerweise g(x) = x?
Wenn es so ist, wie du schreibst, berühren sich f(x) = a + x² und g(x) = c, wenn a = c ist. Die Gleichung der Berührungstangente ist dann also g(x) = a.
Mein Ansatz wäre, f(x) = g(x) zu setzen und nach einer Konstellation zu suchen, die nur eine Lösung hat. Das ist bei quadratischen Funktionen meistens die, bei der unter der Wurzel für die Diskriminante ein Wert 0 heraus kommt.
a + x² = x
x² - x + a = 0
x1,2 = 1/2 +/- Wurzel( 1/4 - a)
1/4 - a = 0
a = 1/4
x_a = 1/2
f(x) = x² + 1/4
Ist g(x) = x nicht automatisch auch die Tangente? :/
Also wir haben das gelernt mit der Ableitung zu machen, das heißt f'(x)= a+ 2x und g'(x)=1
Das dann gleich setzten
f'(x)=g'(x)
a+2x=1 |-2x
a=1-2x
Und dann ist das fertig oder muss man noch weiter machen?
Weil da noch was mit Berührungstangente steht
Viele Wege führen nach Rom. Es hat mich nur irritiert, dass in der Aufgabe nach der Gleichung für die Berührungstangente gefragt wird, obwohl diese bereits gegeben ist.
f'(x) ist nur 2x.
a fällt weg, weil a = a*x^0
und das abgeleitet ist 0 * ax^(-1) = 0.
Beim Gleichsetzen hast du deshalb nur 2x = 1 <=> x = 1/2
Bei f(1/2) = g(1/2) = 1/2 hast du den Berührungspunkt.
a bekommst du heraus, wenn du einen Punkt, zum Beispiel den Berührungspunkt in f einsetzt.
f(x) = x² + a
1/2 = (1/2)² + a
1/2 = 1/4 + a
1/4 = a
f(x) = x² + 1/4
Bedingung: Steigung m an dem Berührungspunkt xo sind gleich
f(x)=x^2+a abgeleitet f´(x)=2*x
g(x)=m*x=1*x also ist die Steigung bei xo m=1
1=f´(xo)=2*xo ergibt xo=1/2=0,5
Funktionswerte f(xo)=g(xo) sind am Berührungspunkt gleich
f(xo)=g(xo) ergibt xo^2+a=1*xo mit xo=0,5 ergibt
a=0,5-0,5^2=0,25
gesuchte Funktion f(x)=x^2+0,25
Probe: f(0,5)=0,5^2+0,25=0,5 und g(0,5)=1*0,5=0,5
Tangentengleichung yt=f(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
f(xo)=f(0,5)=0,5^2+0,25=0,5
f´(x0)=f´(0,5)=2*0,5=1 eingesetzt
yt=ft(x)=1*(x-0,5)+0,5=1*x-0,5+0,5
Tangentengleichung yt=ft(x)=x
f ' = 2x (das a fällt als Konstante beim Ableiten weg)
g ' = 1
2x=1 also x=1/2
Berührpunkt ist B(1/2 ; 1/2)
also f(1/2) = 1/2
1/2 = a + (1/2)²
1/2 = a + 1/4
a = 1/4
Berührtangente ist g(x) = x im Punkt (1/2 ; 1/2)
Sorry da ist ein Schreibfehler, ist eigentlich g(x)=x 😅