Betragsungleichungen durch das quadrieren lösen?

Würde man auf die richtige lösungsmenge der Ungleichung kommen, wenn man beide Seiten quadriert und diese dann gleichsetzt?

Ich bekam 0 und 3 als lösungsmenge raus. Ist das richtig?

Danke für jede Antwort!

Answer 1

[Rammstein53]

Da auf beiden Seiten der Betrag betrachtet wird, kann man beide Seiten quadrieren

x^2 - 2x +1 <= 1/9 x^2 + 2/3x + 1

8/9 x^2 - 8/3x <= 0

x^2 - 3x <= 0

x (x - 3) <= 0

Lösungsmenge 0 <= x <= 3

Im Fall x < 0 wird x(x-3) > 0

Im Fall x > 3 wird x(x-3) > 0

Answer 2

[nobytree2]

Fallunterscheidungen!

$Sei\ x-1\ge0\ und\ \frac{x}{3}+1\ge0\ dann\ ohne\ Betragsstriche\ weiter$ $x-1=\frac{x}{3}+1\to\frac{2}{3}x=2\to x=3$ $in\ Ordnung,\ da\ 3-1\ge0\ und\ \frac{3}{3}+1\ge0$

$Sei\ x-1<0\ und\ \frac{x}{3}+1<0,\ dann\ beide\ Seiten\ mal\ -1$ $-\left(x-1\right)=-\left(\frac{x}{3}+1\right)\to x=3$ $nicht\ in\ Ordnung,\ da\ 3-1\text{ nicht kleiner 0, ebenso nicht }$

$Sei\ x-1<0\ und\ \frac{x}{3}+1\ge0,\ dann\ nur\ die\ linke\ Seite\ mal\ -1$

$-\left(x-1\right)=\frac{x}{3}+1\ \to x=0$

$in\ Ordnung:\ 0-1<0\ und\ \frac{0}{3}+1>0\ in\ Ordnung$

$Sei\ x-1\ge0\ und\ \frac{x}{3}+1<0,\ nur\ die\ rechte\ Seite\ mal\ -1$ $x-1=-\frac{x}{3}-1\ \to x=0,\ nicht\ in\ Ordnung!$

Lösung x=3 oder x = 0

Du wirst gemerkt haben, dass eigentlich zu zwei Fälle erforderlich wären, bei Ungleichungen muss man aber ggf. alle vier Möglichkeiten durchproben.

Comments

[Dcsuperheroman]

Ich komm mit der Fallentscheidung einfach nicht zurecht, weshalb ich das quadrieren probiert habe. Da wir beide auf die gleiche Lösungsmenge gekommen sind Weiss ich dass quadrieren richtig ist, danke

[nobytree2]

@Dcsuperheroman

Fallunterscheidung ist einfach: Wenn dasjenige, was in Betragsstrichen positiv ist, dann einfach die Betragsstriche weglassen.

Wenn dasjenige, was in Betragsstrichen negativ ist, alles in den Betragsstrichen mal -1, dadurch wird positiv, und dann Betragsstriche weg.

Quadrieren gehen nicht immer, z.B.: | x + 3 | + 4 = 5 + | 2x |

Da kommst Du mit Quadrieren nicht weiter, sondern nur mit Fallunterscheidungen! (ich zumindest)

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

in diesem Fall kommst Du auch mit Quadrieren zum Ziel. Zwischen x=0 und x=3 stimmt die Ungleichung. Deine Lösung ist falsch. Du mußt Dich irgendwo verrechnet haben.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Dcsuperheroman]

Habe doch Intervall von 0 bis 3 als Lösung, müsste doch richtig so sein?

[Willy1729]

@Dcsuperheroman

0 bis 3 ist richtig. Ich meine aber, daß eben in Deiner Frage noch eine andere Lösungsmenge stand.

[Dcsuperheroman]

@Willy1729

Ja stimmt hatte mich erst verrechnet und sie dann korrigiert danke für die Antwort