Beweis per Induktion mit Fibonaccifolge?
Guten Abend:)
meine Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Die Folge der Fibonacci-Zahlen wird rekursiv definiert durch
a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
Was habe ich bisher gemacht?
- Zuerst einmal finde ich es komisch, wie definiert ist. Ist es nicht normalerweise durch ein "plus" statt ein "minus" definiert? Ansonsten macht der Induktionsanfang auch keinen Sinn: Da habe ich Wenn ich aber n=3 in die Formel einsetze, dann erhalte ich den Wert 2. Daher bin ich der Meinung, dass dort ein "plus" stehen muss.
- Ich habe den Induktionsanfang mit "plus" statt "minus" für n=3 gemacht und den Wert 2 erhalten. Nun möchte ich ja in meiner Induktionsbehauptung sagen, dass es auch, wenn es für ein beliebiges n gilt, auch für n+1 gilt. Ich habe also und möchte zeigen, dass gilt (durch Umformen). Leider komme ich nicht auf die nötigen Umformungsschritte. Hat da jemand einen Tipp? Ich würde mich da sehr drüber freuen.
Ich wünsche euch einen guten Rutsch!
2 Antworten
Hallo,
natürlich muß da ein Plus stehen, kein Minus - da hast Du vollkommen recht.
Für den Induktionsschritt zeigst Du, daß die Formel mit den Exponenten n-1 plus die Formel mit den Exponenten n die Formel mit den Exponenten n+1 ergibt.
Da überall der Faktor 1/Wurzel (5) auftritt, kannst Du den sofort herauskürzen.
Weiter stellst Du a^(n-1) als a^n*(1/a) und a^(n+1) als a^n*a dar.
Wegen der Übersichtlichkeit nenne ich (1+Wurzel (5)/2 a und (1-Wurzel (5))/2 b, sonst tippe ich mich hier tot.
Nach Eliminierung von 1/Wurzel(5) zeigst Du, daß a^(n-1)-b^(n-1)+a^n-b^n gleich
a^(n+1)-b^(n+1) ergibt. Nicht vergessen, wofür hier a und b eigentlich stehen!
Also a^n*(1/a)-b^n*(1/b)+a^n-b^n=a^n*a-b^n*b,
a^n und b^n jeweils ausklammern:
a^n*(1+1/a)-b^n*(1+1/b)=a^n*a-b^n*b.
a^n und b^n tauchen auf beiden Seiten auf. Sie werden nur mit scheinbar unterschiedlichen Faktoren multipliziert.
Du brauchst also nur noch zu zeigen, daß 1+1/a=a und 1+1/b=b gilt.
Natürlich nicht allgemein für irgendwelche a und b, das ginge natürlich nicht, sondern für a=(1+Wurzel(5))/2 und b=(1-Wurzel(5)/2.
1/a ist dann 2/(1+Wurzel(5)) und 1/b ist 2/(1-Wurzel(5)).
1+2/(1+Wurzel(5))=(1+Wurzel(5))/2 und 1+2/(1-Wurzel(5))=(1-Wurzel(5))/2.
In diesen Gleichungen gibt es keine Variablen mehr, so daß Du die Gleichheit einfach durch Ausrechnen zeigen kannst.
Natürlich geht es auch durch Umformen, ist aber überflüssig.
Macht trotzdem Spaß, kannst Dich ja mal dran versuchen.
Wenn Du - wie ich - Terme, die immer wieder vorkommen, durch Buchstaben ersetzt, wird die Sache übersichtlicher und die Strukturen treten besser hervor.
Herzliche Grüße,
Willy
Nach sehr langer Überlegung fiel mir auf:
Da ziehe ich wie folgt was raus:
(analog für den anderen Bruch)
Dann hilft noch weiter:
Falls jemand auch bei der Aufgabe ist, der kann das hier gerne verwenden.
Beste Grüße:)
Nein, das muss ich nicht beweisen. Aber wenn man mal so darüber nachdenkt: f_1=f_2=1 und f_3=2. Diese f_i sind Grundstein der Fibonacci-Folge, also macht es ja irgendwo Sinn, dass nur ganze Zahlen bei rauskommen, wenn man immer nur ganze Zahlen addiert. Vielleicht hilft der Gedanke ja
Naja, das ist klar. Aber schließlich stehen da n-te Wurzeln. Da kann man schon skeptisch sein.
Nur so aus Neugier: musst du auch beweisen, dass f_n anhand der Formel für jedes n eine ganze Zahl ergibt?